MFCC（Mel Frequency Cepstral Coefficients，梅尔频率倒谱系数） 是一种有用的波形表示方法，它强调了信号中与语音单元检测相关的方面。
MFCC 是一个 39 维的特征向量，包含：
| 12 个倒谱系数 | 1 个能量系数 |
| 12 个一阶差分倒谱系数 | 1 个一阶差分能量系数 |
| 12 个二阶差分倒谱系数 | 1 个二阶差分能量系数 |
下面概述了这些特征是如何计算的；对更多细节感兴趣的读者可以参考信号处理课程。
倒谱：逆离散傅里叶变换
MFCC 系数基于倒谱（cepstrum）。
倒谱的一种理解方式是它提供了一种将声源和滤波器分离的有效方法。
回顾第 14.4.6 节，当具有特定基频的声门源波形通过声道时生成语音波形，由于声道形状的不同过滤特性，产生了不同的语音。
然而，许多声门源的特征（如其基频、声门脉冲的具体细节等）对于区分不同语音并不重要。
相反，对于语音识别最有用的信息是滤波器，即声道的确切位置。
如果我们知道声道的形状，就能知道正在发出的是哪个语音。
这表明，对于语音识别有用的特征应该能够解卷积（分离）声源和滤波器，并只显示声道滤波器。
事实证明，倒谱就是实现这一目标的方法之一。
图 14.30 来自 Taylor (2009) 的幅度谱（a）、对数幅度谱（b）和倒谱（c），已获得许可。 两个频谱上叠加了一个平滑的频谱包络以帮助可视化频谱。
为了简化讨论，我们考虑输入为对数幅度谱并忽略梅尔缩放。
倒谱可以被看作是频谱的对数的频谱。
这听起来可能令人困惑，我们从简单部分开始：频谱的对数。
也就是说，倒谱始于标准幅度频谱，如 Taylor (2009) 中所示元音的频谱（图 14.30(a)）。
然后取对数，即将幅度频谱中的每个振幅值替换为其对数值，如图 14.30(b) 所示。
下一步是将对数频谱可视化，就像它本身就是一个波形。
换句话说，考虑图 14.30(b) 中的对数频谱。
轴标签（x 轴上的频率）告诉我们这是频谱，假设移除这些轴标签，并想象我们只是在处理正常的语音信号，x 轴表示时间。
现在我们能说这个“伪信号”的频谱有什么特点呢？
注意到该波形中有一个高频重复成分：小波大约每 1000 单位沿 x 轴重复 8 次，频率约为 120 Hz。
这种高频成分是由信号的基频引起的，代表了频谱中信号每个谐波处的小峰值。
此外，“伪信号”中还有一些较低频率的成分；例如，包络或共振峰结构在这个窗口中有大约四个大峰值，对应更低的频率。
图14.30(c)展示了倒谱（cepstrum）：即我们一直在描述的对数频谱的频谱。 倒谱一词（cepstrum）是将“spectrum”（频谱）一词的前四个字母反转而得来的。图中横轴以**采样点（samples）**为单位进行标注。 这是因为在对对数频谱再次进行频谱分析后，我们已离开了原始频谱所在的频率域，重新回到了时域。 事实上，倒谱的正确单位就是采样点。
观察该倒谱，我们可以看到在横轴约 120 处确实存在一个显著的峰值，它对应于基频 F0，代表了声门脉冲。 此外，在横轴较低数值处还存在其他若干成分，这些成分代表了声道滤波器（即舌头位置及其他发音器官的构型）。 因此，如果我们关注的是检测音素（phones），就可以只利用倒谱中较低的部分。 而如果我们关注的是检测基频（pitch），则可以使用倒谱中较高部分的值。
在提取MFCC（梅尔频率倒谱系数）时，我们通常只取前 12 个倒谱系数。 这12个系数仅包含有关声道滤波器的信息，并且已与声门激励源的信息清晰地分离开来。
倒谱系数还有一个极为有用的性质：不同倒谱系数之间的方差往往是不相关的。 这一点在原始频谱中并不成立——频谱中不同频带的系数通常是相互关联的。
对于学过信号处理的读者而言，倒谱更正式的定义是：信号DFT（离散傅里叶变换）幅度取对数后再进行逆DFT的结果。因此，对于一段加窗的语音帧 $ x[n] $，其倒谱可表示为：
$$ c[n] = \sum^{N-1}_{k=0} \log\left(\left|\sum^{N-1}_{n=0}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}\right|\right)e^{j\frac{2\pi}{N}kn} \tag{14.17} $$能量（Energy）
在前述12个倒谱系数的基础上，我们再增加第13个特征：该帧的能量。
能量是音素检测的一个有用线索（例如，元音和擦音的能量通常高于塞音）。
一帧信号的能量定义为该帧内各样本功率在时间上的总和；因此，对于从时间采样点 $ t_1 $ 到 $ t_2 $ 的信号 $ x $，其能量为：
差分特征（Delta features）
我们还会加入与倒谱特征随时间变化相关的特征。
语音信号中的变化，例如共振峰在过渡段的斜率，或从塞音闭合到爆破释放的转变，同样能为识别音素提供有用线索。
为此，我们为上述13个特征（12个倒谱系数加1个能量）分别添加一个**差分（delta）或称速度（velocity）特征，以及一个二阶差分（double delta）或称加速度（acceleration）**特征。
这13个差分特征分别表示相应倒谱/能量特征在相邻帧之间的变化量，而13个二阶差分特征则表示相应差分特征在帧间的变化量。
这些差分特征可以通过简单地用当前帧的值减去前一帧的值得到，但在实际应用中，通常采用拟合多项式并计算其一阶和二阶导数。